Tg^2 20 * tg^2 40 * tg^2 80 = 3 Доказать.

Tg^2 20 * tg^2 40 * tg^2 80 = 3, возьмем под корень обе части уравнения, получим:

tg20° tg40° tg 80°=√3

tg20° tg40° tg 80° = (sin20° sin40° sin80°) / (cos20° cos40° cos80°)

Обозначим числитель этой дроби A, знаменатель - B и посчитаем их отдельно.

а) знаменатель.

Домножим его на sin20° и воспользуемся трижды формулой синуса двойного угла:

sin20°*B = (sin20°cos20°) * cos40°cos80° = (½) (sin40°cos40°) cos80° =

= (¼) (sin80°cos80°) = (1/8) sin160°

Но sin160° = sin (180°-160°) = sin20°; таким образом, мы получили, что

sin20°*B = (1/8) sin20°, откуда

B = 1/8

б) числитель

Воспользуемся формулами произведения двух синусов и произведения синуса с косинусом:

sin20°*sin40° = ½ (cos20°-cos60°) = ½ (cos20°-½) = cos20°/2 - ¼;

A = (sin20°sin40°) sin80° = (cos20°/2 - ¼) sin80°,

sin80° cos20° = ½ (sin100° + sin60°) = sin (180°-100°) / 2 + √3/4 = sin80°/2 + √3/4;

A = (sin80°/2 + √3/4) / 2 - sin80°/4 = √3/8

в) окончательно:

tg20° tg40° tg80° = A/B = (√3/8) / (1/8) = √3.

Что и требовалось доказать