сколько трехзначных чисел кратных 13, у которых сумма цифр также кратна 13. сколько трехзначных чисел, которые при деление на 11 дают полный квадрат.

1)

1. Пусть трехзначное число x = abc делится на 13, и сумма цифр x также делится на 13:

{100a + 10b + c ≡ 0 (mod 13); (1) {a + b + c ≡ 0 (mod 13). (2)

2. Вычтем сравнения:

99a + 9b ≡ 0 (mod 13); 9 (11a + b) ≡ 0 (mod 13); 11a + b ≡ 0 (mod 13).

Возможные решения для a и b:

(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (7; 1), (8; 3), (9; 5).

3. С учетом сравнения (2) получим 5 трехзначных чисел:

247, 364, 481, 715, 832.

2)

1. Трехзначное число x, которое при деление на 11 дает полный квадрат, можно представить в виде:

x = 11n^2.

2. Для трехзначного числа выполняется двойное неравенство:

99 < 11n^2 < 1000; 9 < n^2 < 100; 3 < n < 10. (2)

3. Неравенству (2) удовлетворяют 6 натуральных чисел:

n = 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ:

1) 5 трехзначных чисел; 2) 6 трехзначных чисел.