В некотором классе каждый ученик либо всегда говорит ложь, либо всегда говорит правду. При этом каждый из них знает про остальных, кто лжец, а кто нет. На сегодняшнем собрании присутствовали все ученики класса, и каждый сообщил, кем является каждый из остальных. Ответ "лжец" при этом прозвучал 312 раз. Вчера проводилось такое же собрание, но один из учеников отсутствовал. Тогда ответ "лжец" прозвучал 288 раз. Сколько учеников в таком классе?

Пусть а число учеников в классе, которые всегда говорят правду, и в число учеников в классе, которые лгут.

Во время опроса на сегодняшнем собрании каждый говорящий правду назвал слово "лжец" в раз, а говорящий ложь назвал слово "лжец" а раз:

а * в + в * а = 312;

2 ав = 312;

ав = 156. (1)

На вчерашнем собрании было на одного ученика меньше, это был либо тот кто говорит правду, либо лжец.

Предположим, это был тот, кто говорит правду, тогда:

(а - 1) * в + в * (а - 1) = 288;

ав - в + ва - в = 288;

2 (ав - в) = 288;

в (а - 1) = 144. (2)

Из (1) и (2) следует, что в общий множитель для чисел 156 и 144.

Разложим эти числа на множители:

156 = 2 * 2 * 3 * 13;

144 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3.

Наибольший общий множитель чисел 156 и 144 число 12, предположим, в = 12, тогда а = 144 / в + 1 = 13, с другой стороны а = 156 / в = 13.

Другие общие множители чисел 156 и 144 не подходят так как вычисленные для этих чисел на основании уравнений (1) и (2) значения а будут различные.

Найдем общее число учеников в классе:

а + в = 12 + 13 = 25.

Ответ: 25.