Решить уравнение 4x^2/x-2-4x/x+3=9x+2/x^2+x-6

4x² / (x - 2) - 4x / (x + 3) = (9x + 2) / (x² + x - 6).

Разложим знаменатель последней дроби на множители: x² + x - 6 = (х - х₁) (х - х₂).

D = 1 + 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-1 - 5) / 2 = - 3.

х₂ = (-1 + 5) / 2 = 2.

Значит, x² + x - 6 = (х + 3) (х - 2).

Получается уравнение:

4x² / (x - 2) - 4x / (x + 3) = (9x + 2) / (х + 3) (х - 2).

Перенесем все дроби в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю:

4x² / (x - 2) - 4x / (x + 3) - (9x + 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

(4 х² (х + 3) - 4 х (х - 2) - (9 х + 2)) / (х + 3) (х - 2) = 0.

(4 х³ + 12 х² - 4 х² + 8 х - 9 х - 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

(4 х³ + 8 х² - х - 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

Дробь тогда равна нулю, когда числитель равен нулю.

ОДЗ: (х + 3) (х - 2) не равно нулю, х не равен - 3 и х не равен 2.

4 х³ + 8 х² - х - 2 = 0.

Разложим на множители методом группировки:

4 х² (х + 2) - (х + 2) = 0.

(4 х² - 1) (х + 2) = 0.

Отсюда 4 х² - 1 = 0; 4 х² = 1; х² = 1/4; х = ±√1/4 = ±1/2.

Или х + 2 = 0; х = - 2.

Ответ: корни уравнения - 2, - 1/2 и 1/2.