Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

1. Пусть:

a и b - катеты прямоугольного треугольника, a ≥ b; c = 41 см - его гипотенуза; S = 180 см^2 - площадь.

2. По теореме Пифагора получим:

a^2 + b^2 = c^2. (1)

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = 1/2 * ab. (2)

4. Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим ее, учитывая условие задачи:

{a^2 + b^2 = c^2;

{S = 1/2 * ab; {a^2 + b^2 = 41^2;

{ab = 2 * 180; {a^2 + b^2 = 1681;

{ab = 360; { (a + b) ^2 - 2ab = 1681;

{ (a - b) ^2 + 2ab = 1681;

{ab = 360; { (a + b) ^2 - 2 * 360 = 1681;

{ (a - b) ^2 + 2 * 360 = 1681; { (a + b) ^2 = 2401;

{ (a - b) ^2 = 961; {a + b = 49;

{a - b = 31; {2a = 49 + 31;

{2b = 49 - 31; {a = 40;

{b = 9.

Ответ: 9 см и 40 см.