1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 7 дм, а гипотенуза - 5 дм. 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их разность равна 3 дм, а гипотенуза - 15 дм. 3. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 28 см, а гепотенуза равна 20 см. Найдите катеты

1) Для решения задачи составим систему уравнений, обозначив 2 катета соответственно x и у.

x + y = 7

x² + y² = 5²

Выразим из первого уравнения x: x = 7 - y, тогда

(7 - y) ² +y2 = 25

49 - 14 * y + y2 + y2 = 25

2 * y2 - 14 * y + 24 = 0 - Разделим левую и правую части уравнения на 2.

y2 - 7 * y + 12 = 0

D = 49 - 4 * 12 = 49 - 48 = 1

y₁ = (7 + 1) / 2 = 4, y₂ = (7 - 1) / 2 = 3

Теперь вычислим соответствующие значения х: x₁ = 7 - 4 = 3, x₂ = 7 - 3 = 4.

В результате получили две пары симметричных значений: (3; 4) и (4; 3). Следовательно,

один из катетов равен 3 дм, а другой 4 дм.

2) Для решения задачи составим систему уравнений:

x - y = 3

x² + y² = 152.

Из первого уравнения выразим х: x = 3 + y и подставим полученное выражение во второе уравнение:

(3 + y) ² +y2 = 225

9 + 6 * y + y² + y² = 225

2 * y² + 6 * y - 216 = 0

y² + 3 * y - 108 = 0

D = 9 + 4 * 108 = 9 + 432 = 441

y₁ = (-3 + 21) / 2 = 9, y₂ = (-3 - 21) / 2 = - 12. Значение y₂ = - 12 не удовлетворяет условию задачи, так как длина не может быть отрицательна.

Теперь вычислим значения х: x = 3 + 9 = 12. Следовательно, длина одного катера равна 9 дм, а второго 12 дм.

3) Задача решается аналогично предыдущим:

x + y = 28

x² + y² = 400

Из первого уравнения: x = 28 - y, тогда (28 - y) ² +y2 = 400

784 - 56 * y + y² + y² - 400 = 0

2 * y^{2 -} 56 * y + 384 = 0

y² - 28 * y + 192 = 0

D = 784 - 4 * 192 = 16

y₁ = (28 + 4) / 2 = 16, y₂ = (28 - 4) / 2 = 12. Тогда x₁ = 28 - 16 = 12, x₂ = 28 - 12 = 16.

В результате получили две пары симметричных значений. Следовательно,

один из катетов равен 16 дм, а другой 12 дм.