Назовем число "красивым", если в его десятичной записи нет цифры ноль и оно делится на сумму свои цифр. Докажите, что среди десятичных чисел существует хотя бы одно "красивое" число

Для того, чтобы доказать, что среди десятизначных чисел существует хотя бы одно "красивое" число достаточно назвать хотя бы одно такое число.

Попробуем составить "красивое" число.

Запишем число, состоящее из 10 единиц:

1111111111.

Сумма его цифр 10 * 1 = 10.

Так как оно не оканчивается на 0, то, очевидно, на 10 оно не делится и выбранное число не является "красивым".

Заменим последнюю цифру этого числа цифрой 5:

1111111115.

Сума цифр нового числа 1 * 9 + 5 = 14.

Число 1111111115 не является четным, поэтому не может делиться на 14, но, очевидно, если заменить одну из единиц на 2, то сумма цифр станет 15 и это число будет делиться на 15:

2111111115.

Таким образом, существует хотя бы одно "красивое" число, например 2111111115.