В каждом из 20 пеналов лежит либо 4, либо 5, либо 6 карандашей. a) верно ли, что найдётся хотя бы семь пеналов с одинаковым количеством карандашей. б) можно ли с увереностью утверждать, что найдётся хотя бы восемь пеналов с одинаковым количеством карандашей.

Пункт А.

Введем обозначения:

f - количество пеналов с четырьмя карандашами;

g - количество пеналов с пятью карандашами;

h - количество пеналов с шестью карандашами.

Общее количество пеналов равно f + g + h.

Допустим, среди данных пеналов нет семи таких, в которых находится одинаковое количество карандашей. Тогда у нас есть следующие пеналы:

не более 6 пеналов с четырьмя карандашами;

не более 6 пеналов с пятью карандашами;

не более 6 пеналов с шестью карандашами.

Составим неравенства:

f ⩽ 6;

g ⩽ 6;

h ⩽ 6.

Сложим данные неравенства.

f + g + h ⩽ 6 + 6 + 6;

f + g + h ⩽ 18.

Получается, что общее количество пеналов не больше 18. Но по условию общее количество пеналов равно 20.

20 > 18.

Значит, наше первоначальное предположение было ошибочным. И действительно существует 7 таких пеналов, в которых находится одинаковое количество карандашей.

Пункт Б.

Дано утверждение: "Существует 8 таких пеналов, в которых находится одинаковое количество карандашей". Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один пример. И мы его приведем.

Допустим, у нас есть следующие пеналы:

7 пеналов с четырьмя карандашами;

7 пеналов с пятью карандашами;

6 пеналов с шестью карандашами.

Тогда среди данных пеналов нет восьми таких, в которых находится одинаковое количество карандашей. Мы опровергли утверждение, указанное в условии.

Ответ:

а) верно;

б) нет.