Найдите значение функции f (x) = x^3+2,5x^2-2x в точке максимума

Рассмотрим функцию f (x) = x³ + 2,5 * x² - 2 * x. Очевидно, что данная функция определена для всех x ∈ (-∞; + ∞). Требуется найти значение данной функции в точке максимума. Воспользуемся дифференциальным исчислением. Вначале вычислим производную данной функции. Имеем: f' (x) = (x³ + 2,5 * x² - 2 * x) ' = (x³) ' + (2,5 * x²) ' - (2 * x) ' = 3 * x² + 2 * 2,5 * x - 2 * 1 = 3 * x² + 5 * x - 2. Приравнивая к нулю производную, определим стационарные точки. Для этого решим уравнение 3 * x² + 5 * x - 2 = 0. Найдем дискриминант составленного квадратного уравнения: D = 5² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49. Поскольку дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: x₁ = (-5 - √ (49)) / (2 * 3) = (-5 - 7) / 6 = - 12 / 6 = - 2 и x₂ = (-5 + √ (49)) / (2 * 3) = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3. Итак, нашли две стационарные точки: x₁ = - 2 и x₂ = 1/3. Рассмотрим значение (точнее, знак значения) производной f' (x) = 3 * x² + 5 * x - 2 в произвольных точках следующих множеств: (-∞; - 2), (-2; 1/3) и (1/3; + ∞). Очевидно, что f' (x) > 0 при x ∈ (-∞; - 2); f' (x) 0 при x ∈ (1/3; + ∞). Следовательно, данная функция имеет локальный максимум в точке х₁ = - 2, а в точке х₂ = 1/3 - локальный минимум. По требованию задания, вычислим f (-2) = (-2) ³ + 2,5 * (-2) ² - 2 * (-2) = - 8 + 2,5 * 4 + 4 = 6.

Ответ: 6.