решить уравнение 9^х+4^х=2.5*6^х

Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

9^х + 4^х = 2,5 * 6^х;

9^х + 4^х - 2,5 * 6^х = 0;

3^2x - 2,5 * 3^x * 2^x + 2^2x = 0;

Раздели каждый член равенства на 3^2x:

(3^2x) / 3^2x - (2,5 * 3^x * 2^x) / 3^2x + (2^2x) / 3^2x = 0;

1 - (2,5 * 2^x) / 3^x + (2^2x) / 3^2x = 0;

1 - 2,5 * (2/3) ^x + (2/3) ^2 х = 0;

Выполним замену:

(2/3) ^x = у > 0;

1 - 2,5 * у + у^2 = 0;

у^2 - 2,5 у + 1 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = ( - 2,5) ^2 - 4 * 1 * 1 = 6,25 - 4 = 2,25;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2,5 - √2,25) / 2 * 1 = (2,5 - 1,5) / 2 = 1/2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2,5 + √2,25) / 2 * 1 = (2,5 + 1,5) / 2 = 4/2 = 2;

Найдем х:

(2/3) ^x = у;

Если у = 1/2, то:

(2/3) ^x = 1/2;

Прологарифмируем по основанию 2/3:

log _2/3 (2/3) ^x = log _2/3 1/2;

х1 = log _2/3 1/2;

Если у = 2, то:

(2/3) ^x = 2;

Прологарифмируем по основанию 2/3:

log _2/3 (2/3) ^x = log _2/3 2

Ответ: х1 = log _2/3 1/2; х2 = log _2/3 2.