Не выполняя сложения, определите, каким числом (чётным или нечётным) является сумма; а) 1+3+5+7+9+11+13+15; Б) 5+15+25+35+45+55+65; в) 9+29+49+69+89+109+129+149+169.

Для решения данной задачи докажем следующие утверждения:

сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом; сумма двух четных чисел всегда является четным числом; сумма четного и нечетного чисел всегда является нечетным числом. Докажем, что сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом

Пусть числа а и b являются нечетными. Тогда данные числа можно записать в следующем виде:

а = 2k + 1;

b = 2n + 1,

где k и n - некоторые целые числа.

Найдем сумму этих чисел:

a + b = 2k + 1 + 2n + 1 = 2k + 2n + 2 = 2 * (k + n + 1).

Из полученного представления следует, что сумма чисел а и b является четным числом.

Докажем, что сумма двух четных чисел всегда является четным числом

Пусть числа а и b являются четными. Тогда данные числа можно записать в следующем виде:

а = 2k;

b = 2n,

где k и n - некоторые целые числа.

Найдем сумму этих чисел:

a + b = 2k + 2n = 2k + 2n = 2 * (k + n).

Из полученного представления следует, что сумма чисел а и b является четным числом.

Следствием данного утверждения является то, что сумма любого количества четных чисел является четным числом.

Докажем, что сумма четного и нечетного чисел всегда является четным числом

Пусть числа а является четным, а число b является нечетными. Тогда данные числа можно записать в следующем виде:

а = 2k;

b = 2n + 1,

где k и n - некоторые целые числа.

Найдем сумму этих чисел:

a + b = 2k + 2n + 1 = 2k + 2n = 2 * (k + n) + 1.

Из полученного представления следует, что сумма чисел а и b является нечетным числом.

Используя доказанные утверждения покажем, что:

сумма четного количества нечетных чисел является четными числом; сумма нечетного количества нечетных чисел является нечетными числом;

Если в сумме, состоящей из четного количество нечетных слагаемых сложить все слагаемые попарно, то в силу 1-го доказанного утверждения, мы получим сумму некоторого количества четных чисел.

Поскольку то в силу 2-го доказанного утверждения сумма любого количества четных чисел является четным числом, то данная сумма является четным числом.

Если сумму, состоящую из нечетного количество нечетных слагаемых представить в виде суммы четного количество нечетных слагаемых и одного нечетного слагаемого, мы получим в результате сумму четного и нечетного числа, которая в силу 3-го доказанного утверждения является нечетным числом.

Используя доказанные утверждения решим задачу.

а) 1+3+5+7+9+11+13+15.

Данная сумма является суммой 8-ми нечетных слагаемых и является четным числом.

б) 5+15+25+35+45+55+65.

Данная сумма является суммой 7-ми нечетных слагаемых и является нечетным числом.

в) 9+29+49+69+89+109+129+149+169.

Данная сумма является суммой 9-ти нечетных слагаемых и является нечетным числом.

При сложении четность или нечетность суммы зависит от слагаемых.

При сложении любого числа четных слагаемых сумма четное число.

При сложении четного и нечетного числа получается нечетное число.

При сложении нечетных слагаемых получается четное число, если число слагаемых четно и нечетное число в случае нечетного числа слагаемых.

а) В выражении 1+3+5+7+9+11+13+15 присутствует 8 слагаемых, все из них нечетные числа, следовательно в результате вычислений получится четное число.

б) В выражении 5+15+25+35+45+55+65 присутствует 7 нечетных слагаемых, следовательно после сложения получится нечетное число.

в) В выражении 9+29+49+69+89+109+129+149+169 присутствует 9 нечетных слагаемых, следовательно сумма будет нечетным числом.