Решить уравнение: log₇ (x²-9) - log₇ (9-2x) = 1

Прежде чем, решить данное логарифмическое уравнение log₇ (x² - 9) - log₇ (9 - 2 * x) = 1, сначала воспользуемся определением логарифма и констатируем, что логарифмические выражения, присутствующие в левой уравнения имеют смысл только в том случае, если x² - 9 > 0 и 9 - 2 * x > 0. Решим эти два неравенства и определим область действительных значений х, где имеет смысл данное уравнение: [ (-∞; - 3) ∪ (3; + ∞) ] ∩ (-∞; 4,5) = (-∞; - 3) ∪ (3; 4,5). Пусть М = (-∞; - 3) ∪ (3; 4,5). Воспользуемся формулой log_a (b / с) = log_ab - log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Имеем: log₇[ (x² - 9) / (9 - 2 * x) ] = 1. Определение логарифма позволит утверждать, что (x² - 9) / (9 - 2 * x) = 7¹. Поскольку рассматриваются те х, для которых 9 - 2 * x > 0, то умножая обе части полученного уравнения на (9 - 2 * x), имеем: x² - 9 = 7 * (9 - 2 * x). Это уравнение, после преобразований, примет вид: x² + 14 * х - 72 = 0. Полученное уравнение является квадратным уравнением, дискриминант D которого равен D = 14² - 4 * 1 * (-72) = 196 + 188 = 484. Поскольку D = 484 > 0, то вычислим два различных корня: х₁ = (-14 - √ (484)) / 2 = (-14 - 22) / 2 = - 36/2 = - 18 и х₂ = (-14 + √ (484)) / 2 = (-14 + 22) / 2 = 8/2 = 4. Проверка показывает, что - 18 ∈ М и 4 ∈ М. Это означает, что оба корня квадратного уравнения являются решениями данного уравнения.

Ответ: х = - 18 и х = 4.