Вася рассказал друзьям, что позавчера ему еще было 10 лет, а вследующем году ему исполнится 13. Как такое может быть?

Это возможно в том случае, если вчера ему исполнилось 11 лет (позавчера ему было еще 10),

так как сейчас ему 11, то через год ему исполнится:

12+1 = 13 лет.

Следовательно сейчас 1 января.

День рождения Васи приходится на 31 декабря. Данная ситуация полностью удовлетворяет условиям задачи.