Как решить производную функцию дроби 1+16x^2/arctg4x по формуле (u/v) ' = u'*v-u*v'/v^2

Найдём производную нашей данной функции: f (x) = (1 + 16x^2 / arctg (4x)).

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(x^n) ' = n * x^ (n-1).

(с) ' = 0, где с - const.

(с * u) ' = с * u', где с - const.

(arctg (x)) ' = 1 / (1 + х^2).

(u ± v) ' = u' ± v'.

(u / v) ' = (u'v - uv') / v².

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x).

Таким образом, производная нашей данной функции будет выглядеть следующим образом:

f (x) ' = (1 + 16x^2 / arctg (4x)) ' = ((1 + 16x^2) ' * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (arctg (4x)) ') / (arctg (4x)) ^2 = (((1) ' + (16x^2) ') * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4x) ' * (arctg (4x)) ') / (arctg (4x)) ^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1) ') * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4 х) ^2))) / (arctg (4x)) ^2 =

((0 + 16 * 2 * x^1) ') * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4 х) ^2))) / (arctg (4x)) ^2 = (32x * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16 х^2))) / (arctg (4x)) ^2.

Ответ: f (x) ' = (32x * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16 х^2))) / (arctg (4x)) ^2.