Найдите значение выражения 2 (a⁴ + b⁴+c⁴) , если известно, что числа a, b, c удовлетворяют системе из трех уравнений: a + b + c = 4, a² + b² + c² = 9, a³ + b³ + c³ = 19

Нам нужно найти значение выражения 2 (a^4 + b^4 + c^4), если известно, что числа a, b, c удовлетворяют системе из трех уравнений:

a + b + c = 4;

a^2 + b^2 + c^2 = 9;

a^3 + b^3 + c^3 = 19.

Для того, чтобы найти значение выражения проведем несколько тождественных преобразований.

Составим алгоритм решения возведем в квадрат первое уравнение и выразим сумму произведений переменных; найдем произведения заданных уравнений; вычтем из первого уравнения (полученного в результате произведения) второе и найдем значение произведения переменных; возведем в квадрат найденное в первом пункте равенство; возведем в квадрат второе уравнение системы; найдем значение 2 (a^4 + b^4 + c^4). Находим значение выражения 2 (a^4 + b^4 + c^4)

Согласно алгоритму, возведем в квадрат первое уравнение системы, получим:

(a + b + c) ^2 = 16;

a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + ac + bc) = 16;

Подставляем заданное значение выражения a^2 + b^2 + c^2 = 9 в полученное равенство и получим:

9 + 2 (ab + ac + bc) = 16;

ab + ac + bc = (16 - 9) / 2;

ab + ac + bc = 7/2.

Найдем произведения выражений, значения которых известны:

(a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2) = (a^3 + b^3 + c^3) + ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a);

(a + b + c) (a b + b c + c a) = ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + 3abc;

Найдем разность полученных уравнений:

(a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3 abc.

Подставляем известные значения выражений и получаем:

4 (9 - 7/2) = 19 - 3abc;

36 - 14 - 19 = - 3 abc;

abc = - 1;

Возводим в квадрат полученное после преобразований равенство:

ab + ac + bc = 7/2;

(ab + ac + bc) ^2 = 49/4.

Для этого будем использовать формулу возведения в квадрат трехчлена:

(a + b + c) ^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac.

Получим,

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2a^2bc + 2c^2ab + 2b^2ac = 49/4;

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + 2abc (a + b + c) = 49/4;

Подставим известные нам значения в полученное выражение и получаем:

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - 8 = 49/4;

a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = 81/4.

Далее возведем вторе равенство в квадрат:

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 + 2 (a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) = 81;

a^4 + b^4 + c^4 + 2 * 81/4 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 = 81/2;

2 (а^4 + b^4 + c^4) = 81;

Ответ: 2 (а^4 + b^4 + c^4) = 81.

Решение:

Возведем в квадрат первое из трех уравнение:

(a + b + c) ^2 = 16;

a^2 + b^2 + c^2 + 2 (a b + a c + b c) = 16;

Подставляем a^2 + b^2 + c^2 = 9 в получившееся уравнение:

9 + 2 (a b + a c + b c) = 16;

a b + a c + b c = (16 - 9) / 2;

a b + a c + b c = 7 / 2;

Рассмотрим вспомогательные выражения:

(a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2) = (a^3 + b^3 + c^3) + a b (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a);

(a + b + c) (a b + b c + c a) = a b (a + b) + b c (b + c) + c a (c + a) + 3 a b c;

Вычтем из первого уравнения второе:

(a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a) = a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c;

Подставим имеющиеся значения уравнений:

4 (9 - 7 / 2) = 19 - 3 a b c;

36 - 14 - 19 = - 3 a b c;

a b c = - 1;

Возведем уравнение a b + a c + b c = 7 / 2 в квадрат:

(a b + a c + b c) ^2 = 49 / 4;

По формуле возведение в квадрат трехчлена (a + b + c) ^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c, поэтому:

a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + 2 a^2 b c+2 c^2 a b + 2 b^2 a c = 49 / 4;

a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + 2 a b c (a + b + c) = 49 / 4;

Подставим найденные значения abc и a + b + c:

a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 - 8 = 49 / 4;

a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 = 81 / 4;

Возведем уравнение a^2 + b^2 + c^2 = 9 в квадрат:

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 + 2 (a^2 b^2 + b^2 c^2 + a^2 c^2) = 81;

Подставляем найденное значение a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2:

a^4 + b^4 + c^4 + 2 * 81 / 4 = 81;

a^4 + b^4 + c^4 = 81 / 2;

2 (A^4 + b^4 + c^4) = 81;

Ответ: 2 (A^4 + b^4 + c^4) = 81.