Число 2009 возводят в куб, к результату прибавляют 3, полученную сумму снова возводят в куб, к этому кубу прибавляют 3 и т. д. Все полученные кубы и суммы записываются на доске. Появится ли когда - нибудь на этой доске число, оканчивающееся на 5?

Для того, чтобы понять, будет ли на конце числа цифра 5, нет необходимости вычислять каждый кубы огромных чисел, нужно лишь просто рассмотреть цифру 9, находящуюся на конце, и итоговое прибавление тройки к числу.

После первого возведения в куб числа 2009 на конце числа будет 9 (9*9*9 = 729), после прибавки трех на конце получим двойку. Смотрим дальше. После возведения в куб данного числа на конце будет 8 (2*2*2=8), после прибавки трех получим единицу на конце. Снова возводим в куб число, на конце единица, прибавляем три, получаем четверку. Снова возводим в куб число, прибавляем 3 и получаем 7. Делаем то же самое, на конце получаем 6. Снова повторяем действие и на конце получаем девятку. Наконец, получили начальное число из первого цикла, и говорит нам это о том, что числа начнут повторяться по кругу. И, соответственно, цифры 5 на конце любой степени числа 2009 не будет.