Докажите справедливость неравенства: (a^2+1) (a^6+1) (a^12+1) больше или равно 8a^10 для любого действительного числа a

Для доказательства справедливости данного неравенства воспользуемся тем, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше среднего геометрического, то есть: (a + b) / 2 ≥ √ (ab), для любых a, b ∈ Z.

На основании этого записать следующие неравенства:

a² + 1≥ 2 √ (a² * 1) = 2|a|.

a⁴ + 1≥ 2√ (a⁴) = 2a².

a⁶ + 1≥ 2√ (a⁶) = 2|a³|.

Перемножаем члены неравенства отдельно с левой и с правой стороны, в неравенствах все члены неотрицательны, то знак неравенства останется без изменения:

(a² + 1) * (a⁴ + 1) * (a⁶ + 1) ≥ 2|a| * 2a² * 2|a³.

Так как 2|a| * 2a² * 2|a³| = 8a⁶, то (a² + 1) * (a⁴ + 1) * (a⁶ + 1) ≥ 8a.

Что и требовалось доказать.