3cos²6x+8sin3xcos3x=4

Решим данное тригонометрическое уравнение 3 * cos² (6 * x) + 8 * sin (3 * x) * cos (3 * x) = 4, хотя об этом явного требования в задании нет. Воспользуемся двумя формулами: sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла) и sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), которого перепишем в виде cos²α = 1 - sin²α. Тогда, получим: 3 * (1 - sin² (6 * x)) + 4 * sin (2 * 3 * x) = 4 или - 3 * sin² (6 * x) + 4 * sin (6 * x) - 1 = 0. Введём новую переменную у = sin (6 * x). Это позволяет нам составить квадратное уравнение - 3 * у² + 4 * у + 3 = 0, дискриминант D которого равен D = 4² - 4 * (-3) * (-1) = 16 - 12 = 4. Положительность дискриминанта даёт право вычислить два корня этого квадратного уравнения: у₁ = (-4 - √ (4)) / (2 * (-3)) = (-4 - 2) / (-6) = 1 и у₂ = (-4 + √ (4)) / (2 * (-3)) = (-4 + 2) / (-6) = 1/3. Рассмотрим каждый корень по отдельности. При у = 1, имеем: sin (6 * x) = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет решения 6 * х = π/2 + 2 * π * n, где n - целое число. Поделим на 6. Тогда х = π/12 + (π/3) * n, где n - целое число. Аналогично, при у = 1/3, имеем: sin (6 * x) = 1/3. Решениями этого простейшего тригонометрического уравнения являются: 6 * х = (-1) ^k * arcsin (1/3) + π * k, где k - целое число. После деления на 6, получим: х = (-1) ^k * arcsin (1/3) / 6 + (π/6) * k, где k - целое число.

Ответ: х = π/12 + (π/3) * n, где n - целое число; х = (-1) ^k * arcsin (1/3) / 6 + (π/6) * k, где k - целое число.