Сравнить41/42 и 42/43

Чтобы буквально не вычислять на калькуляторе эти значения, проанализируем эти выражения:

41/42, 42/43,

42/43 = (41 + 1) / (42 + 1).

Представим выражения в виде пропорции вместо знака > < поставим знак?:

41 : 42? (41 + 1) : (42 + 1),

перемножим крайние и средние знаки пропорции, чтобы потом их сравнить:

41 * (42 + 1) ? 42 * (41 + 1);

41 * 42 + 41? 42 * 41 + 42; 41? 42, знак? можно заменить на знак < так как 41<42, отсюда вывод:

41/42< 42/43.

Этот вывод справедлив для всех дробей вида a / (a + 1), ((a + 1) / (a + 2), при a>0.