Найти экстремумы функции: 1) f (x) = x^3-x^2-x+2. 2) f (x) = (5-4x) e^x

1. f (x) = x^3 - x^2 - x + 2. a) точки экстремума:

f' (x) = 3x^2 - 2x - 1 = 0;

D/4 = 1^2 + 3 * 1 = 4;

x = (1 ± √4) / 3 = (1 ± 2) / 3;

x1 = (1 - 2) / 3 = - 1/3; x2 = (1 + 2) / 3 = 3/3 = 1. b) промежутки монотонности: 1) x ∈ (-∞; - 1/3), f' (x) > 0; 2) x ∈ (-1/3; 1), f' (x) <0; 3) x ∈ (1; ∞), f' (x) > 0. с) экстремумы функции:

x = - 1/3 - точка максимума:

f (max) = f (-1/3) = (-1/3) ^3 - (-1/3) ^2 - (-1/3) + 2 = - 1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = (-1 - 3 + 9 + 54) / 27 = 59/27;

x = 1 - точка минимума:

f (min) = f (1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1.

2. f (x) = (5 - 4x) e^x. a) точки экстремума:

f' (x) = (5 - 4x) e^x - 4e^x = e^x (5 - 4x - 4) = e^x (1 - 4x) = 0;

1 - 4x = 0;

4x = 1;

x = 1/4.

b) промежутки монотонности: 1) x ∈ (-∞; 1/4), f' (x) > 0; 2) x ∈ (1/4; ∞), f' (x) < 0. с) экстремум функции:

x = 1/4 - точка максимума:

f (max) = f (1/4) = (5 - 4 * 1/4) e^ (1/4) = 4e^ (1/4).

Ответ:

1) f (max) = f (-1/3) = 59/27; f (min) = f (1) = 1; 2) f (max) = 4e^ (1/4).