Для новых книг в библиотеку привезли новый стеллаж, состоящий из нескольких полок. Математик, находящийся в библиотеке, заметил, что если на нижнюю полку поставить 21 книгу, а на каждую следующую ставить на 5 книг больше, чем на предыдущую, то все новые книги будут расставлены по всем полкам стеллажа. Однако библиотекарь, поставив на нижнюю полку 21 книгу, расставил все новые книги так, что на каждой следующей полке стояло на 6 книг больше, чем на предыдущей. При этом одна последняя полка стеллажа осталась пустой. Сколько полок содержал стеллаж?

1. Пусть X - количество полок.

Если на первую поставить 21 книгу, а на каждую следующую на 5 больше, получится арифметическая прогрессия с разностью 5.

На последней полке 21 + (X - 1) * 5 книг.

Найдем общее число книг.

S = (2 * 21 + (X - 1) * 5) * X / 2 = (37 + 5 * X) * X / 2.

2. Но на 1 полку поставили 21 книгу, на каждую следующую на 6 больше.

Снова арифметическая прогрессия, но с разностью 6.

Всего занятых полок (X - 1).

S = (2 * 21 + (X - 2) * 6) * (X - 1) / 2 = (30 + 6 * X) * (X - 1) / 2.

3. (37 + 5 * X) * X / 2 = (30 + 6 * X) * (X - 1) / 2.

5 * X * X + 37 * X = 30 * X - 30 + 6 * X * X - 6 * X.

X * X - 13 * X - 30 = 0.

Находим дискриминант.

D = 13 * 13 + 4 * 30 = 289.

X1 = (13 + 17) / 2 = 15 полок.

X2 = (13 - 17) / 2 = - 2 < 0, не подходит.

Ответ: 15 полок содержал стеллаж.