Вычислите:tg (п/3-arcctg1/3)

1. Обозначим данное выражение через A и преобразуем его воспользовавшись формулой для тангенса разности двух аргументов:

tg (φ1 - φ2) = (tgφ1 - tgφ2) / (1 + tgφ1 * tgφ2); A = tg (π/3 - arcctg (1/3)); A = (tg (π/3) - tg (arcctg (1/3))) / (tg (π/3) - tg (arcctg (1/3))). (1)

2. В точке π/3 тангенс принимает значение, равное √3, а сложная функция, состоящая из двух обратных функций, возвращает аргумент:

tg (π/3) = √3; tg (arcctg (1/3)) = 1/ctg (arcctg (1/3)) = 3.

Подставив эти значения в равенство (1), получим:

A = (√3 - 3) / (1 + √3 * 3); A = (√3 - 3) (3√3 - 1) / (3√3 + 1) (3√3 - 1); A = (9 - √3 - 9√3 + 3) / ((3√3) ^2 - 1^2); A = (12 - 10√3) / 26 = (6 - 5√3) / 13.

Ответ: (6 - 5√3) / 13.