Докажите, что дробь ((7^4n) - 1) / 10 сократима (то есть (7^4n) - 1 кратно 10)

Исходное выражение разложим на множители:

7^ (4 * n) - 1 = (7^ (2 * n) - 1) * (7^ (2 * n) + 1).

Заметим, что степени 7 заканчиваются цифрами:

(7, 49, 343, 2401, ...)

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

т. е. цифрами 7, 9, 3, 1 и далее в таком же порядке циклически.

Также заметим, что четные степени числа 7 могут заканчиваться только на 9 или 1.

Тогда хотя бы один из множителей 7^ (2 * n) - 1 или 7^ (2 * n) + 1 будет делиться на 10, а следовательно, и их произведение будет делиться на 10.