27^x-3*18^x-12^x+3*2^x=0

27^x - 3*18^x - 12^x + 3*2^3x = 0

1. Преобразуем выражение.

(3³) ^x - 3 * (2 * 3²) ^x - (3 * 2²) ^x + 3*2^3x = 0

Получается (3 ^х) ³ - 3*2^х * (3^х) ² - 3^х * (2^х) ² + 3 * (2^х) ³ = 0

2. Пусть 3^х = а, 2^х = в

а³ - 3 а²в - ав² + 3 в³ = 0

3. Разложим на множители методом группировки.

а² (а - 3 в) - в² (а - 3 в) = 0

(а² - в²) (а - 3 в) = 0

(а - в) (а + в) (а - 3 в) = 0

4. Произведение равно нулю в том случае, если один из множителей равен нулю.

а - в = 0 или а + в = 0 или а - 3 в = 0

5. Возвращаемся к замене 3^х = а, 2^х = в.

3^х - 2^х = 0

3^х = 2^х, такого не может быть, 3 не равно 2.

3^х + 2^х = 0

3^х = - 2^х, такого не может быть, 3^х всегда больше 0.

3^х - 3 * 2^х = 0

3^х = 3 * 2^х

Делим обе части на 2^х

(3/2) ^х = 3

х = log_3/2 3 = 1 / (log₃3/2) = 1 / (log₃3 - log₃2) = 1 / (1 - log₃2)

Ответ: х = 1 / (1 - log₃2)