6cos квадрат x + 5cos (пи/2-x) = 7

По формулам приведения cos (п/2 - х) = sin x, в результате получим:

6 cos²x + 5 cos (п/2 - х) = 7;

6 cos²x + 5 sin х = 7.

По основному тригонометрическому тождеству sin²x + cos²x = 1, следовательно, выразив cos²x, получим:

6 (1 - sin²x) + 5 sin x = 7.

Раскроем скобки:

6 * 1 - 6 * sin²x + 5 sin x = 7.

Перенесем 7 влево с противоположным знаком:

6 - 6 sin²x + 5 sin x - 7 = 0.

Приведем подобные слагаемые:

- 6 sin²x + 5 sin x - 1 = 0.

Домножим обе части уравнения на ( - 1):

6 sin²x - 5 sin x + 1 = 0.

Сделаем замену:

Sin x = t, | t | ≤ 1;

6t² - 5t + 1 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1;

t₁ = (5 + 1) / (2 * 6) = 6/12 = 1/2;

t₂ = (5 - 1) / (2 * 6) = 4/12 = 1/3.

Сделаем обратную подстановку и решим полученные простейшие тригонометрические уравнения:

Sin x = ½;

x = ( - 1) ⁿ arcsin ½ + пn, где n из множества Z целых чисел;

x = ( - 1) ⁿ п/6 + пn, где n из множества Z целых чисел.

Sin x = 1/3;

x = ( - 1) ^m arcsin 1/3 + пm, где m из множества целых чисел Z.

Ответ: ( - 1) ⁿ п/6 + пn, ( - 1) ^m arcsin 1/3 + пm, где n, m из множества целых чисел Z.