Какой цифрой оканчивается сумма 54^35+28 ^21

1. Для каждого из двух слагаемых составим сравнения по основанию 10:

a)

54¹ ≡ 4 (mod 10);

54² ≡ 4² ≡ 16 ≡ 6 (mod 10);

54³ ≡ 6 * 4 ≡ 24 ≡ 4 (mod 10);

54⁴ ≡ 4 * 4 ≡ 16 ≡ 6 (mod 10);

54^ (2k + i) ≡ 54^i (mod 10);

54³⁵ ≡ 54^ (2 * 17 + 1) ≡ 54¹ ≡ 4 (mod 10). (1)

b)

28¹ ≡ 8 (mod 10);

28² ≡ 8² ≡ 64 ≡ 4 (mod 10);

28³ ≡ 4 * 8 ≡ 32 ≡ 2 (mod 10);

28⁴ ≡ 2 * 8 ≡ 16 ≡ 6 (mod 10);

28^ (4k + i) ≡ 28^i (mod 10).

28²¹ ≡ 28^ (4 * 5 + 1) ≡ 28¹ ≡ 8 (mod 10). (2)

2. Сложим сравнения (1) и (2):

54³⁵ + 28²¹ ≡ 4 + 8 (mod 10);

54³⁵ + 28²¹ ≡ 12 ≡ 2 (mod 10).

Ответ: 2.