Решите неравенство 2x^3+9x^2+12x+4=>0

2x³ + 9x² + 12x + 4 ≥ 0.

Разложим многочлен на множители по схеме Горнера.

Выписываем коэффициенты: 2, 9, 12 и 4.

Выписываем делители свободного члена 4: 1, - 1, 2, - 2, 4, - 4.

Очевидно, что положительные делители не дадут при сложении ноль, пробуем отрицательные делители:

Пробуем - 1: - 1 * 2 + 9 = 7; - 1 * 7 + 12 = 5; - 1 * 5 + 4 = - 1 (не подходит).

Пробуем - 2: - 2 * 2 + 9 = 5; - 2 * 5 + 12 = 2; - 2 * 2 + 4 = 0 (подходит).

Первая скобка будет (х + 2), во вторую собираем новый многочлен в новыми коэффициентами, понижая степень, получается 2x³ + 9x² + 12x + 4 = (х + 2) (2x² + 5 х + 2).

Разложим квадратный многочлен по формуле ax² + bx + c = a (x - x₁) (x - x₂).

2x² + 5 х + 2 = 2 (x - x₁) (x - x₂).

D = 25 - 16 = 9 (√D = 3);

х₁ = (-5 - 3) / 4 = - 8/4 = - 2.

х₂ = (-5 + 3) / 4 = - 2/4 = - 1/2.

Значит, 2x² + 5 х + 2 = 2 (х + 1/2) (х + 2) = (2 х + 1) (х + 2).

Получилось неравенство (х + 2) (2 х + 1) (х + 2) ≥ 0.

(2 х + 1) (х + 2) ² ≥ 0.

Скобка (х + 2) ² всегда больше нуля, если х + 2 = 0, то х = - 2.

Значит 2 х + 1 ≥ 0; 2 х ≥ - 1; х ≥ - 1/2.

Ответ: х = - 2 и х принадлежит промежутку [-1/2; + ∞).