Катер проходит 96 км вниз по течению реки от А до В и обратно за 14 часов. Одновременно с катером из А отправился плот. На пути обратно катер встретил плот на расстоянии 24 км от А. Определите скорость катера в стоячей воде и скорость течения.

Пусть х - это собственная скорость катера, а - скорость течения реки (и скорость плота).

(х - а) - это скорость катера против течения реки, (х + а) - это скорость катера по течению.

Выразим время катера в пути от А до В: 96 / (х + а).

Выразим время катера в пути от В до места встречи с плотом: катер прошел от В 96 - 24 = 72 км, время равно 72 / (х - а).

Выразим время плота в пути: 24/а.

Составляем уравнение:

24/а = 96 / (х + а) + 72 / (х - а).

Поделим уравнение на 24:

1/а = 4 / (х + а) + 3 / (х - а).

1/а = (4 х - 4 а + 3 х + 3 а) / (х + а) (х - а).

1/а = (7 х - а) / (х² - а²).

a (7 х - а) = х² - а².

7 ах - а² + a² = х².

7 ах = х², поделим на х: х = 7 а.

Время движения катера от А до В равно 96 / (х + а), время в пути обратно равно 96 / (х - а), всего 14 часов, составим уравнение:

96 / (х + а) + 96 / (х - а) = 14, поделим на 2:

48 / (х + а) + 48 / (х - а) = 7.

(48 х - 48 а + 48 х + 48 а) / (х + а) (х - а) = 7.

96 х / (х² - а²) = 7.

7x² - 7a² = 96x.

х = 7 а (см. выше).

7 * 49 а² - 7a² = 96 * 7a.

336 а² = 672 а, поделим на 336 а:

а = 2 (км/ч) - скорость течения реки.

х = 7 а = 7 * 2 = 14 (км/ч) - собственная скорость катера.