При каких натуральных n выражение n12-n8-n4+1 делится нацело на 128.

1. Разложим выражение на множители:

f (n) = n^12 - n^8 - n^4 + 1; f (n) = n^8 (n^4 - 1) - (n^4 - 1); f (n) = (n^4 - 1) * (n^8 - 1); f (n) = (n^4 - 1) * (n^4 - 1) (n^4 + 1); f (n) = (n^4 - 1) ^2 * (n^4 + 1); f (n) = ((n^2 - 1) (n^2 + 1)) ^2 * (n^4 + 1); f (n) = ((n - 1) (n + 1)) ^2 * (n^2 + 1)) ^2 * (n^4 + 1).

2. При четных значениях n выражение f (n) будет нечетным и на 128 не может делиться.

3. При нечетных значениях n одно из четных чисел n - 1 и n + 1 содержит хотя бы две двойки, а их произведение - хотя бы 3 двойки:

n^2 - 1 ≡ 0 (mod 2^3).

Далее получим:

n^2 + 1 ≡ 0 (mod 2^1); n^4 - 1 ≡ 0 (mod 2^4); (n^4 - 1) ^2 ≡ 0 (mod 2^8); n^4 + 1 ≡ 0 (mod 2^1); (n^4 - 1) ^2 * (n^4 + 1) ≡ 0 (mod 2^9); f (n) ≡ 0 (mod 2^9).

Следовательно, при нечетных значениях n выражение f (n) делится не только на 128, но и на 2^9 = 512. Например:

f (3) = 3^12 - 3^8 - 3^4 + 1 = 531441 - 6561 - 81 + 1 = 524800 = 512 * 1025.

Ответ: при нечетных значениях n.