Представьте в виде дроби выражение: 1 / (х (х+1)) + 1 / ((х+1) (х+2)) + ... + 1 / ((х+99) (х+100))

В данном задании требуется представить в виде дроби выражение, которого обозначим через В = 1 / (х * (х + 1)) + 1 / ((х + 1) * (х + 2)) + ... + 1 / ((х + 99) * (х + 100)). Прежде всего, нужно отметить, что выражение имеет смысл если, х ≠ 0, х ≠ - 1, х ≠ - 2, ..., х ≠ - 100. Анализ данного выражения показывает, что каждую дробь (всего 99 дробей) можно представить в виде разности двух дробей. Действительно, 1 / (х * (х + 1)) = (х + 1 - х) / (х * (х + 1)) = (х + 1) / (х * (х + 1)) - х / (х * (х + 1)) = 1 / х - 1 / (х + 1); 1 / ((х + 1) * (х + 2)) = (х + 2 - (х + 1)) / ((х + 1) * (х + 2)) = (х + 2) / ((х + 1) * (х + 2)) - (х + 1) / ((х + 1) * (х + 2)) = 1 / (х + 1) - 1 / (х + 2); ...; 1 / ((х + 99) * (х + 100)) = (х + 100 - (х + 99)) / ((х + 99) * (х + 100)) = (х + 100) / ((х + 99) * (х + 100)) - (х + 99) / ((х + 99) * (х + 100)) = 1 / (х + 99) - 1 / (х + 100). Подставим все эти разности в данное выражение. Тогда, имеем: В = 1 / х - 1 / (х + 1) + 1 / (х + 1) - 1 / (х + 2) + ... + 1 / (х + 99) - 1 / (х + 100). Ясно, что после приведения подобных членов в выражении В из 99 * 2 = 198 дробей останутся только две крайние дроби. Следовательно, В = 1 / х - 1 / (х + 100) = (х + 100 - х) / (х * (х + 100)) = 100 / (х * (х + 100)).

Ответ: Если, х ≠ 0, х ≠ - 1, х ≠ - 2, ..., х ≠ - 100, то 1 / (х * (х + 1)) + 1 / ((х + 1) * (х + 2)) + ... + 1 / ((х + 99) * (х + 100)) = 100 / (х * (х + 100)).