Х4-2 х3-14 х2+15 х+26=0

х⁴ - 2 х³ - 14 х² + 15 х + 26 = 0.

1) Целые корни данного уравнения ищем среди делителей свободного члена: ±1; ±2; ±13; ±26.

Проверяя эти числа находим, что х₁ = - 1. Понизим степень данного уравнения, согласно теореме Безу, разделим многочлен х⁴ - 2 х³ - 14 х² + 15 х + 26 на х + 1, получим кубическое уравнение

х³ - 3 х² - 11 х + 26 = 0.

Далее применяя тот же метод найдем целый корень среди чисел: ±1; ±2; ±13; ±26. Проверяя, находим: х₂ = 2. Разделим многочлен х³ - 3 х² - 11 х + 26 на х - 2, имеем (х³ - 3 х² - 11 х + 26) = (х - 2) * (х² - х - 13). Приравняем к нулю и решим квадратное уравнение:

х² - х - 13 = 0.

D = (-1) ² - 4 * 1 * (-13) = 1 + 52 = 53.

х_3,4 = (1 ± √53) / 2.

2) Методом группировки можно также перейди к квадратному уравнению:

х⁴ - 2 х³ - 14 х² + 15 х + 26 = (х⁴ - 2 х³) - (14 х² - 28 х) - (13 х - 26) = х³ (х - 2) - 14 х (х - 2) - 13 (х - 2) = (х-2) * (х³ - 14 х - 13) = (х - 2) * ((х³ - х) - (13 х + 13)) = (х - 2) * (х * (х - 1) * (х+1) - 13 (х + 1) = (х - 2) * (х + 1) * (х² - х - 13), отсюда х₁ = 2; х₂ = - 1 и квадратное уравнение: х² - х - 13 = 0.

Ответ: - 1; 2; (1 + √53) / 2; (1 - √53) / 2 - корни уравнения.