a (b+c) ^2+bc+a) ^2+c (a+b) ^2-4abc = (a+b) (b+c) (c+a)

Решение:

1) Рассмотрим левую часть уравнения: a (b + c) ^2 + b (c + a) ^2 + c (a + b) ^2 - 4abc. Раскрываем скобки. Получаем: a (b^2 + 2bc + c^2) + b (c^2 + 2ac + a^2) + c (a^2 + 2ab + b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ac^2 + 2abc + b^2c - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ac^2 + b^2c.

2) Рассмотрим правую часть уравнения: (a + b) (b + c) (c + a). Раскрываем скобки. Получаем: (ab + ac + b62 + bc) (с + a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + b^2a + bc^2 + abc.

3) ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ac^2 + b^2c = 2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + b^2a + bc^2.

4) Все слагаемые взаимно уничтожаются. То есть разность левой и правой части обращаются в 0. Тождество доказано.