в пространстве даны прямая А и не лежащая на ней точка О. Докажите, что все прямые, проходящие через точку О и пересекающие прямую А лежат в одной плоскости

Любая прямая определяется двумя точками. Если провести две произвольные прямые через точку О, пересекающиеся с прямой А, получим на пересечении с прямой А точки А₁ и А₂.

Известно, что через любые 3 точки можно провести плоскость, при этом такая плоскость будет единственная. Значит через точки О, А₁ и А₂ можно провести плоскость и она будет единственной.

Согласно другой аксиоме: если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Получается, что через любые две произвольные точки на прямой А и точку О можно провести плоскость, при этом все прямые, проходящие через эти точки будут лежать в этой плоскости, так как две точки каждой прямой уже находятся в этой плоскости.