Найдите четырёхзначное число, цифра единиц которого такая же, как цифра десятков, а цифра сотен такая же, как цифра тысяч. Кроме того, число является точным квадратом. Назовите сумму цифр этого четырёхзначного числа.

1. Пусть x - искомое четырехзначное число:

x = kknn = 1000k + 100k + 10n + n; x = 1100k + 11n; x = 11 (100k + n). (1)

2. Поскольку число x является полным квадратом, то из уравнения (1) следует, что x делится на 11^2, значит, 100k + n также делится на 11:

11 (100k + n) = (11m) ^2; 100k + n = 11m^2;

100 < 11m^2 < 1000, и число десятков равно нулю:

1) m = 1;

11m^2 = 11 * 1^2 = 11 < 100;

2) m = 2;

11m^2 = 11 * 2^2 = 44 < 100;

3) m = 3;

11m^2 = 11 * 3^2 = 99 < 100;

4) m = 4;

11m^2 = 11 * 4^2 = 176;

5) m = 5;

11m^2 = 11 * 5^2 = 275;

6) m = 6;

11m^2 = 11 * 6^2 = 396;

7) m = 7;

11m^2 = 11 * 7^2 = 539;

8) m = 8;

11m^2 = 11 * 8^2 = 704 - подходит;

9) m = 9;

11m^2 = 11 * 9^2 = 891;

10) m = 10;

11m^2 = 11 * 10^2 = 1100 > 1000.

Единственное число:

100k + n = 11m^2 = 11 * 8^2 = 704; k = 7; n = 4; x = 7744 = 88^2.

3. Сумма цифр числа x:

7 + 7 + 4 + 4 = 22.

Ответ: 22.