Докажите что: 1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11. 2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

1) Есть двузначное число, цифры которого равны. Докажем, что любое двузначное такое число будет кратно 11.

Двузначное число имеет вид AB, где A - разряд десятков, B - разряд единиц. Величина числа равна:

|AB| = 10 * A + B.

Если A = B, то:

|AB| = 10 * A + A = 11 * A.

Число кратно 11 при любом A.

2) Трехзначное число имеет вид ABC. Величина числа равна:

|ABC| = 100 * A + 10 * B + C.

Если A = B = C, то:

|ABC| = 100 * A + 10 * A + A = 111 * A.

111 * A = 3 * 37 * A.

Число кратно 37 при любом A, так как при разложении на множители имеет в составе число 37.