Если А - сумма цифр 100-значного числа, В - сумма цифр А, а С - сумма цифр В. определите наибольшее возможное значение С.

Пусть данное 100-значное число A записывается цифрами:

А = a100 a99 ... a3 a2 a1.

Определим функцию F (A), такую что ее значение равно сумме цифр числа A.

Представим A в виде десятичного разложения:

A = 10^99 * a100 + 10^98 * a99 + ... + 10^2 * a3 + 10 * a2 + a1 =

= (10^99 - 1) * a100 + (10^98 - 1) * a99 + ... + (10^2 - 1) * a3 + (10 - 1) * a2 +

+ a100 + a99 + ... + a3 + a2 + a1 =

= (10^99 - 1) * a100 + (10^98 - 1) * a99 + ... + (10^2 - 1) * a3 + (10 - 1) * a2 + F (A).

Но 10^n - 1 = (10 - 1) * (10^ (n - 1) + ... + 10^2 + 10 + 1) =

= 9 * (10^ (n - 1) + ... + 10^2 + 10 + 1) и делится на 9.

Тогда получаем, что A и B = F (A) при делении на 9 имеют одинаковые остатки.

Значит, A и C = F (B) при делении на 9 имеют одинаковые остатки.

Имеем, что B < = 100 * 9 = 900, так как цифры A не могут быть больше 9, и значит,

B записывается не более, чем 3 цифрами.

Аналогично, С < = 8 + 9 + 9 = 26.

Наибольшее возможное значение С = 26.