У Артура часы спешат на 16 минут в день. У Олега часы спешат на 24 минуты в день. В определённый момент и те и другие часы показали правильное время. Через сколько дней ситуация впервые повторится, если часы отображают время в 12-часовом формате (т. е. на циферблате 12 цифр) ?

Если у Артура часы спешат на 16 минут в день, а у Олега на 24 минуты, то за день их часы расходятся на 24 - 16 = 8 минут.

Чтобы время снова совпало, часы мальчиков должны разойтись на 12 часов = 12*60 мин = 720 мин.

Это произойдёт через 720/8 = 90 дней.

Поскольку при делении число дней получилось целым, то время на часах в этот момент снова будет правильным.

Ответ: через 90 дней.

Через сколько дней часы у Артура покажут точное время

Для того, чтобы часы у Артура вновь показали правильное время, нужно чтобы они опередили точное время на 12 часов, т. е. столько часов, сколько обозначено на циферблате. Поскольку они спешат на 16 минут в день, то правильное время снова покажут через:

(12 * 60 / 16) = 45 (дней), т. к. 12 ч = 12 * 60 мин.

Через сколько дней часы у Олега покажут точное время

У Олега же часы спешат на 24 минуты в день, следовательно, в следующий раз они покажут правильное время через:

(12 * 60 / 24) = 30 (дней).

Через сколько дней и те и другие часы покажут точное время

Таким образом, если в какой-то момент времени и те и другие часы показывали правильное время, то в следующий раз точное время покажут:

через 30 дней - вторые часы; через 45 дней - первые часы; через 60 дней - снова вторые часы; через 90 дней - первые и вторые часы и т. д.

Как видим из этого списка, периодичность показа точного времени у первых часов - 45 дней, у вторых часов - 30 дней. Очевидно, периодичность показа точного времени для обоих случаев определяется общим кратным этих чисел, а наименьшее его значение - их наименьшее общее кратное:

[30; 45] = 90 (дней).

Следовательно, можем утверждать, что в следующий раз часы у обоих мальчиков покажут точное время только через 90 дней.

Ответ: 90 дней.