Докажите, что если для натуральных чисел m и с справедливо равенство 2m = с²+1. то Число m можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

2m = с² + 1.

Очевидно, что 2m - четное число (делится на 2).

Предположим, что с - это четное число. Тогда с² также будет четным числом, но тогда с² + 1 является нечетным числом. Получится неверное равенство (четное число не может равняться нечетному).

Следовательно, с - нечетное число. Представим его как с = 2 а + 1.

Тогда получается уравнение:

2m = (2 а + 1) ² + 1.

Раскрываем скобки.

2m = 4 а² + 4 а + 1 + 1.

2m = 4 а² + 4 а + 2.

Поделим уравнение на 2:

m = 2 а² + 2 а + 1.

Представим 2 а² как сумму а² и а²:

m = а² + а² + 2 а + 1.

Свернем три последних одночлена по формуле квадрата суммы.

m = а² + (а² + 2 а + 1).

m = а² + (а + 1) ².

Получилось, что m равно сумме двух квадратов.