Найти точки экстремума функции y=x^4-50x^2

Находим критические точки данной функции.

Для этого находим производную данной функции и находим точки, в которых эта производная обращается в 0.

у' = (x^4 - 50x^2) ' = 4x^3 - 100 х;

4x^3 - 100 х = 0;

x^3 - 25 х = 0;

х * (х^2 - 25) = 0;

х * (х - 5) * (х + 5) = 0;

х = 0;

х = 5;

х = - 5.

Находим значение второй производной данной функции в этих точках:

у'' (х) = (4x^3 - 100 х) ' = 12x^2 - 100;

у'' (0) = 12 * 0^2 - 100 = 12 * 0 - 100 = - 100;

у'' (-5) = 12 * (-5) ^2 - 100 = 12 * 25 - 100 = 300 - 100 = 200;

у'' (5) = 12 * 5^2 - 100 = 12 * 25 - 100 = 300 - 100 = 200.

Так как в точке х = 0 вторая производная отрицательна, то в этой точке функция у = x^4 - 50x^2 достигает своего локального максимума.

Так как в точках х = - 5 и х = 5 вторая производная положительна, то в этих точках функция у = x^4 - 50x^2 достигает своего локального минимума.

Ответ: в точке х = 0 функция достигает своего локального максимума, в точках х = - 5 и х = 5 функция достигает своего локального минимума.