Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения mx-2x=m^2+2 является целым числом

1. Решим уравнение относительно x:

mx - 2x = m^2 + 2; (m - 2) x = m^2 + 2.

2. При m = 2 уравнение превращается в неверное равенство, значит, не имеет решения:

(2 - 2) x = 2^2 + 2; 0 = 6.

3. При m ≠ 2 уравнение имеет одно решение:

x = (m^2 + 2) / (m - 2).

4. Выделим целую часть дроби:

x = (m^2 + 2) / (m - 2) = (m^2 - 2m + 2m - 4 + 6) / (m - 2) = (m (m - 2) + 2 (m - 2) + 6) / (m - 2) = m + 2 + 6 / (m - 2).

5. При целых значениях m значение x также будет целым числом, если знаменатель дроби является целым делителем числителя:

m - 2 = ±1; ±2; ±3; ±6.

Получим 8 решений:

1) m = 2 ± 1; 1 и 3; 2) m = 2 ± 2; 0 и 4; 3) m = 2 ± 3; - 1 и 5; 4) m = 2 ± 6; - 4 и 8.

Ответ: - 4; - 1; 0; 1; 3; 4; 5; 8.