Найдите все пары целых решений уравнения2x^2+y^2=2xy+4x

Преобразуем выражение.

2x² + y² = 2xy + 4x.

x² - 2xy + y² = 4x - х².

(x - y) ² = х (4 - х).

Так как квадрат числа всегда положительный (то есть (x - y) ² ≥ 0), то х (4 - х) ≥ 0.

Решаем неравенство методом интервалов:

-х (х - 4) ≥ 0.

х (х - 4) ≤ 0.

Корни неравенства 0 и 4, решение неравенства: х ∈ [0; 4].

Подставим все целые числа из этого промежутка и найдем все целые значения у.

1) х = 0.

(0 - y) ² = 0 (4 - 0).

(-y) ² = 0.

у = 0.

Ответ: (0; 0).

2) х = 1.

(1 - y) ² = 1 (4 - 1).

1 - 2 у + у² = 3.

y² - 2 у - 2 = 0.

D = 4 + 8 = 12 (√D = 2√3) /

у = (2 ± 2√3) / 2 (у не целое число).

3) х = 2;

(2 - y) ² = 2 (4 - 2).

4 - 4 у + y² = 4.

y² - 4 у = 0.

у (у - 4) = 0.

у = 0 и у = 4.

Ответ: (2; 0) и (2; 4).

4) (4 - y) ² = 4 (4 - 4).

16 - 8 у + y² = 0.

y² - 8 у + 16 = 0.

D = 64 - 64 = 0 (один корень).

у = 8/2 = 4.

Ответ: (4; 4).

Решение задания: (0; 0), (2; 0), (2; 4) и (4; 4).