Найдите наименьшее значение функции f (x) = (4 / x+1) + x. На промежутке [0; 3]

Найдем наименьшее значение функции f (x) = 4 / (x + 1) + x на промежутке [ 0; 3 ].

1) f ' (x) = (4 / (x + 1) + x) ' = - 4 / (x + 1) ^ 2 + 1;

2) Чтобы найти критические точки, приравняем производную функции к нулю. То есть получаем:

- 4 / (x + 1) ^ 2 + 1 = 0;

- 4 / (x + 1) ^ 2 = - 1;

4 = (x + 1) ^ 2

x ^ 2 + 2 * x + 2 = 4;

x ^ 2 + 2 * x - 2 = 0;

x1 = - 1 - √3 ≈ - 2.73 не принадлежит [ 0; 3 ];

x2 = - 1 + √3 ≈ 0.73 принадлежит [ 0; 3 ];

3) Найдем f (0), f (3) и f (-1 + √3).

f (0) = 4 / 1 + 0 = 4;

f (3) = 4 / (3 + 1) + 3 = 4 / 4 + 3 = 1 + 3 = 4;

f (-1 + √3) = 4 / (-1 + √3 + 1) - 1 + √3 = 4 / √3 - 1 + √3 = (4 - √3 + 3) / √3 = (7 - √3) / √3 ≈ (7 - 1.7) / 1.7 ≈ 3.12;

Ответ: (7 - √3) / √3 ≈ 3.12.