В классе 40 учеников. На троки учатся: по русскому языку - 19 учеников, по истории - 22 ученика, по математике - 17 учеников. Вышли с одной тройкой по русскому языку - 4, по математике - 4, по истории - 11 человек. 7 учеников вышли с троиками по двум предметам по математике и по истории, 5 учеников вышли с тройками по всем трем предметам. Сколько учеников учится без троек? Сколько учеников по двум предметам вышли с тройками?

Разделим учеников на группы:

1. учатся без троек - f человек;

2. получили тройки только по русскому - 4 человека;

3. получили тройки только по истории - 11 человек;

4. получили тройки только по математике - 4 человека;

5. получили тройки только по русскому и истории - g человек;

6. получили тройки только по русскому и математике - h человек;

7. получили тройки только по истории и математике - j человек;

8. получили тройки по русскому, истории и математике - 5 человек.

Семь учеников получили тройки по математике и истории. Это ученики из седьмой группы и из восьмой группы. Мы можем составить уравнение.

j + 5 = 7;

j = 2.

Семнадцать учеников получили тройки по математике. Это ученики из следующих групп: четвертая, шестая, седьмая и восьмая. Составим уравнение.

4 + h + j + 5 = 17.

Ранее мы выяснили, что j = 2.

4 + h + 2 + 5 = 17;

h + 11 = 17;

h = 6.

Двадцать два ученика получили тройки по истории. Это ученики из следующих групп: третья, пятая, седьмая и восьмая. Составим уравнение.

11 + g + j + 5 = 22.

Ранее мы выяснили, что j = 2.

11 + g + 2 + 5 = 22;

g + 18 = 22;

g = 4.

Девятнадцать учеников получили тройки по русскому. Это ученики из следующих групп: вторая, пятая, шестая и восьмая. Составим уравнение.

4 + g + h + 5 = 19.

Ранее мы выяснили, что g = 4 и h = 6.

4 + 4 + 6 + 5 = 19.

Получилось верное равенство. Мы не узнали ничего нового, но мы всё равно должны были убедиться в том, что здесь не возникнет противоречия.

Всего было сорок учеников. Составим уравнение.

f + 4 + 11 + 4 + g + h + j + 5 = 40.

Ранее мы выяснили: g = 4; h = 6; j = 2.

f + 4 + 11 + 4 + 4 + 6 + 2 + 5 = 40;

f + 36 = 40;

f = 4.

Итак, четыре ученика учатся без троек.

Осталось найти количество учеников, получивших тройки только по двум предметам. Это ученики из следующих групп: пятая, шестая и седьмая.

g + h + j = 4 + 6 + 2 = 12 (учеников).

Итак, двенадцать учеников получили тройки только по двум предметам.

Ответ:

1. четыре ученика;

2. двенадцать учеников.