Решите систему неравенств и укажите наименьшее целое решение для каждой из них 1) {x+4/x-2<=0 {x (x-5) <0 2) {x-6/x+10>=0 {x-6>=0 3) {x^2-4/x>-3 {x<4 4) {6+x^2/x>=5 {1-x<0

Решаем системы методом интервалов:

1) (x + 4) / (x - 2) < = 0; x (x - 5) < 0.

Находим корни первого неравенства:

х + 4 = 0; х = - 4;

х - 2 = 0; х = 2.

Отмечаем на числовой прямой числа - 4 и 2, указываем дугами интервалы, расставляем знаки, начиная с крайнего правого (+). Получается (+) - 4 (-) 2 (+).

Так как первое неравенство имеет знак < = 0, то решение [-4; 2].

Находим корни второго неравенства:

х = 0;

х - 5 = 0; х = 5.

Отмечаем на числовой прямой числа 0 и 5, указываем дугами интервалы, расставляем знаки, начиная с крайнего правого (+). Получается (+) 0 (-) 5 (+).

Так как первое неравенство имеет знак < 0, то решение (0; 5).

Переносим на одну прямую оба решения, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и есть решение системы неравенств: (0; 2].

Наименьшее целое решение равно 1.

Далее работаем по данному образцу.

2) (x - 6) / (x + 10) > = 0; (x - 6) > = 0.

Корни первого неравенства - 10 и 6: (+) - 10 (-) 6 (+). Знак неравенства > = 0, значит решение неравенства (-∞; - 10] и [6; + ∞).

Решение второго неравенства [6; + ∞).

Решение всей системы неравенств [6; + ∞).

Наименьшее целое решение равно 6.

3) (x^2 - 4) / x > - 3; x < 4.

Преобразуем первое неравенство:

(x^2 - 4) / x + 3 > 0;

(x^2 + 3 х - 4) / x > 0;

x^2 + 3 х - 4 = 0. D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-3 - 5) / 2 = - 4; х₂ = (-3 + 5) / 2 = 1.

Первое неравенство имеет вид (х + 4) (х - 1) / x > 0.

Корни первого неравенства: - 4, 0 и 1: (-) - 4 (+) 0 (-) 1 (+). Знак неравенства > 0, значит решение неравенства (-4; 0) и (1; + ∞).

Решение второго неравенства (-∞; 4).

Решение всей системы неравенств (-4; 0) и (1; 4).

Наименьшее целое решение равно - 3.

4) (6 + x^2) / x > = 5; 1 - x < 0.

Преобразуем первое неравенство:

(6 + x^2) / x - 5 > = 0;

(6 + x^2 - 5 х) / x > = 0;

x^2 - 5 х + 6 = 0. D = 25 - 24 = 1 (√D = 1);

х₁ = (5 - 1) / 2 = 2; х₂ = (5 + 1) / 2 = 3.

Первое неравенство имеет вид (х - 2) (х - 3) / x > = 0.

Корни первого неравенства: 0, 2 и 3: (-) 0 (+) 2 (-) 3 (+). Знак неравенства > = 0, значит решение неравенства [0; 2] и [3; + ∞).

Корень второго неравенства: 1 - x 1.

Решение второго неравенства (1; + ∞).

Решение всей системы неравенств (1; 2] и [3; + ∞).

Наименьшее целое решение равно 2.