Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 16, BC = 2, боковые стороны равны 13 и 15. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, высоту и среднюю линию.

Из вершин В и С данной трапеции опустим высоты BH и СК к нижнему основанию AD. BH = СК = h. Высоты разделили нижнее основание на три отрезка. Центральный отрезок НК = ВС = 2. Допустим, что отрезок АН = х, тогда KD = 16 - 2 - x = 14 - x.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AHB и DKC, запишем с их данными теорему Пифагора и получим систему двух уравнений.

1. AB² = BH² + AH²;

13² = h² + x²;

169 = h² + x².

2. CD² = CK² + KD²;

15² = h² + (14 - x) ²;

225 = h² + 196 - 28x + x²

Из второго уравнения вычтем первое:

56 = 196 - 28 х

28 х = 140

х = 5.

Высоту можно найти из любого прямоугольного треугольника.

h = √ (169 - x²) = √ (169 - 25) = √144 = 12.

Находим площадь трапеции:

S = 1/2 * (BC + AD) * h = 1/2 * 18 * 12 = 108.

Площадь трапеции ещё находится как произведение средней линии на высоту. Получаем, что средняя линия 9.

Ответ: площадь 108, средняя линия 9.