4 косинус квадрат икс + 4 синус икс - 1=0

1. Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

4cos²x + 4sinx - 1 = 0;

sin²x + cos²x = 1;

cos²x = 1 - sin²x;

4 (1 - sin²x) + 4sinx - 1 = 0;

4 - 4sin²x + 4sinx - 1 = 0;

- 4sin²x + 4sinx + 3 = 0;

2. Выполним замену sinx = у и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

- 4 у² + 4 у + 3 = 0;

4 у² - 4 у - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 4 * ( - 3) = 16 + 48 = 64;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √64) / 2 * 4 = (4 - 8) / 8 = - 4 / 8 = - 1/2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √64) / 2 * 4 = (4 + 8) / 8 = 12 / 8 = 1 1/2;

6. Тогда, если у1 = - 1/2, то:

sinx = - 1/2;

х = ( - 1) n arcsin ( - 1/2) + πn, n ∈ Z;

х = - ( - 1) n arcsin (1/2) + πn, n ∈ Z;

х = - ( - 1) n π/6 + πn, n ∈ Z;

если у2 = 1 1/2, то условие sinx = у, |y| ≤ 1, не выполняется, значит этот корень не подходит;

Ответ: х = - ( - 1) n π/6 + πn, n ∈ Z;