Двадцать учеников из пяти различных классов собрали гербарий из 30 растений. Ученики одного класса принесли одинаковое число растений, а из разных - разное. Сколько учеников принесло по два растения? 1) 4; 2) 2; 3) 3; 4) 1.

1. Пусть:

ni - число учеников с i-го класса; ki - количество гербарий, собранных каждым учеником i-го класса.

Не в ущерб общности предположим, что ki < kj при i < j.

2. Общее число учеников равно:

n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 20.

Количество гербарий:

N = n1k1 + n2k2 + n3k3 + n4k4 + n5k5 = 30.

3. При k2 > 3 получим:

N ≥ n1k1 + 3n2 + 4n3 + 5n4 + 6n5; N ≥ (20 - 4) k1 + 3 + 4 + 5 + 6; N ≥ 16k1 + 18; N ≥ 16 + 18; N ≥ 34.

4. Следовательно:

k1 = 1; k2 = 2; k3 ≥ 3; k4 ≥ 4; k5 ≥ 5.

Тогда:

N = n1 + 2n2 + k3n3 + k4n4 + k5n5.

При n1 < 16 получим:

n2 + n3 + n4 + n5 > 4; N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n2 + (k3 - 1) n3 + (k4 - 1) n4 + (k5 - 1) n5; N = 20 + n2 + (k3 - 1) n3 + (k4 - 1) n4 + (k5 - 1) n5; N > 20 + 1 + 2 + 3 + 4; N > 30.

Значит:

n1 = 16; n2 = n3 = n4 = n5 = 1; k1 = 1; k2 = 2; k3 = 3; k4 = 4; k5 = 5.

Ответ: два растения принес один ученик.