1 х2+2 х3+3 х4 + ... + 49 х50=

Эту последовательность можно представить в виде суммы квадратов минус сумма членов последовательности: 2 + 3 + 4 + ... + 50;

1 х 2 = 2^2 - 2;

2 х 3 = 3^2 - 3;

...

49 х 50 = 50^2 - 50;

1 х 2 + 2 х 3 + 3 х 4 + ... + 49 х 50 =

= 2^2 + 3^2 + ... + 50^2 - (2 + 3 + 4 + ... + 50);

Посчитаем эти суммы отдельно:

S1 = 2^2 + 3^2 + ... + 50^2;

Сумма n членов такой последовательности равна:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6;

Доказывается методом математической индукции.

Тогда:

S1 = 50 (50 + 1) (2 х 50 + 1) / 6 - 1 = 42924;

S2 = 2 + 3 + 4 + ... + 50 = ((2 + 50) х 49) / 2 = 1274;

S = S1 - S2 = 42924 - 1274 = 41650.

Ответ: 1 х 2 + 2 х 3 + 3 х 4 + ... + 49 х 50 = 41650.