В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке o; AO=OD, BO=OC, угол BAC=углу DCA. Найдите угол ABC.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD.

Построим серединный MO перпендикуляр к стороне AD.

Так как AO = OD, то треугольник AOD - равнобедренный и точка О лежит на серединном перпендикуляре к стороне AD.

Пусть прямая МОЕ пересекает сторону BC в точке N.

Очевидно, что углы AOM = NOC и DOM = BON.

Следовательно, треугольники BON и CON равны по двум сторонам и углу между ними, т. к. BO = OC. Поэтому ON перпендикулярна BC.

Отсюда вытекает, что прямые AD и BC параллельны.

Тогда углы BAC = DCA по условию задачи, а BCA = CAD, т. к. AD и BC параллельны.

Имеем BAD = BAC + CAD = DCA + BCA = BCD.

Так как AC = AO + CO = DO + BO = BD и углы CAD = BDA,

то треугольники ACD и ABD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = CD и углы ABC = BCD, BAD = CDA.

Но BAD = BCD. Следовательно, все углы четырёхугольника ABCD равны 360/4 = 90°.

Ответ: ABC = 90°.