Упростить (1-1/4) (1-1/9) ... (1-1/n^2)

Заметим, что общий член произведения можно преобразовать так:

1 - 1/n² = (n² - 1) / n² = (n - 1) (n + 1) / n² = [ (n - 1) / n]∙[ (n + 1) / n]

Разобъем ряд произведений скобок на произведение двух рядов. В первый войдут скобки первого типа, во второй - второго:

(1/2) ∙ (2/3) ∙ (3/4) ∙ (5/6) ∙ ... ∙ (n - 1) / n

*

(3/2) ∙ (4/3) ∙ (5/4) ∙ (6/5) ∙ ... ∙ (n + 1) / n

В первом ряду скобок знаменатель первой дроби сократится с числителем второй, знаменатель второй с числителем третьей и так далее. Останутся лишь числитель первой дроби и знаменатель последней:

1/n;

Во втором ряду скобок числитель первой дроби сократится со знаменателем второй, числитель второй со знаменателем третьей и так далее. Останутся лишь знаменатель первой и числитель последней.

(n + 1) / 2;

Значит произведение этих рядов равно (n + 1) / 2n

Ответ: (1 - 1/4) ∙ (1 - 1/9) ∙ ... ∙ (1 - 1/n²) = (n + 1) / 2n